Логічні задачі
Поради, для швидкого розв"язку логічних задач: 

1. Завжди робіть таблицю, у ній ви зможете враховувати всі ймовірні варіанти. 
2. Уважно читайте кожне твердження. Зазвичай кожне твердження містить щось таке, що дозволить вам спростувати хоча б один із варіантів. 
3. Намагайтесь відшукати головне твердження. У складних задачах воно може стояти не спочатку і навіть не на другому місці, але воно обов'язково є. Але пам'ятайте: у логічних задачах не існує сталих правил.  
4. Після того як переглянули всі твердження й викреслили ті з них, безглуздість яких видно неозброєним оком, порівняйте ті, що залишилися, між собою й визначте зв'язки та протиріччя. 
5. Розв'язок можна знайти простим методом послідовних виключень. Тільки не відступайте, якщо не можете розв'язати задачу.  Чим більше будете тренуватися, тим краще це буде виходити. 

ЗАДАЧІ 

1. На всесвітньому фестивалі молоді зустрілись 6 делегатів. Виявилось, що серед будь-яких трьох з них двоє можуть порозумітися між собою якоюсь мовою. Доведіть, що тоді найдеться 3 делегатів, кожен з яких може порозумітись з кожним. 

2. Маємо 2 купи каміння. Гра складається з того, що кожен із двох гравців по черзі забирає будь-яку кількість камінців тільки з однієї купи. Виграє той, хто бере останнім. Знайти спосіб гри, який забезпечує виграш тому гравцеві, який може або розпочати гру, або надати перший хід своєму партнеру. 

3. З картону вирізано 2 правильних восьмикутники. У вершинах одного з них поставлені по черзі (навпроти годинникової стрілки) числа від 1 до 8. Чи можна розставити в вершинах другого восьмикутника ті самі числа так, щоб у будь-якому накладенні другої фігури на першу яка-небудь вершина потрапляла у вершину з тим самим номером. 

4. Щоденно впродовж року учень розв'язував не менше однієї задачі кожного дня, при цьому кожного тижня він розв'язував не більше як 12 задач. Довести, що знайдеться декілька послідовних днів, в які він розв'язував 20 задач. 

5. В школі 740 учнів. Довести, що троє з них в один і той же день святкують свій день народження. 

6. З 61 монети за 4 зважування відокремити фальшиву (вона тяжча, ніж інші). 

7. Кожен із трьох друзів зіграв однакову кількість шахових партій з іншим. При цьому вияснилось, що перший з них виграв найбільшу кількість партій, другий програв найменшу кількість партій, а третій набрав найбільшу кількість очків. Чи могло так бути? Якщо ні, то доведіть. Якщо так, то наведіть приклад. 

8. Вчитель перевірив роботи трьох учнів - Олексієва, Василенка і Сергієнка, але не приніс у клас. Учням він сказав: "Один із вас отримав "3", другий - "4", а третій - "5". У Сергієнка не "5", у Василенка не "4", а у Олексієва, здається, "4". 

Коли принесли зошити, то виявилось, що вчитель тільки одному учневі сказав правильну оцінку, двом іншим - неправильну. Які оцінки отримали учні? 

9. Є 5 монет, серед яких одна - фальшива. Невідомо, легше вона або тяжча дійсної. Вага дійсної монети - 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна знайти фальшиву монету, маючи одну гирю вагою 5 г? 

10. Три розбійника хочуть поділити здобич порівну. Кожен з них упевнений, що тільки він поділить здобич на рівні частини, але інші не мають довіри до нього. Якщо б розбійників було двоє, тоді було б легше вийти з цього становища: один розділив би здобич на 2 частини, а другий взяв би ту частину, яка здавалась йому більшою. Як повинні діяти розбійники, щоб кожен з них був упевнений, що його здобич не менше третьої частини всієї здобичі? 

11. Плитка шоколаду складається з 35 квадратиків (7 5). Ламають по прямих, які ділять квадратики до тих пір, поки не одержать окремі 35 квадратиків. Скільки разів потрібно поділити шоколадку? 

12. Яку найбільшу кількість слонів можна розташувати на шаховій дошці, щоб ані один із слонів не був під подвійною бійкою? 

13. Серед трьох монет одна фальшива (вона легше, ніж дві інші однакової ваги). За допомогою одного зважування на терезах (без гир) знайти фальшиву монету. 

14. Трьом учням в темній кімнаті одягли на голову по чорній шапці. Перед ними поставлено завдання відгадати, хто в якій шапці, якщо всього шапок 5, причому 2 з них - сірі, а 3 - чорні. Сірі шапки сховали перед тим, як у кімнаті запалили світло. Через деякий час один учень відгадав, що він стоїть в чорній шапці. Як він це зробив? 

ВІДПОВІДІ 

1. Хай делегат А може поговорити з трьома іншими делегатами, назвемо їх В, С, D. Серед останніх можливо двоє також можуть порозумітися між собою, скажімо, В і С. Тоді А, В, С - шукана трійка. Якщо А може поговорити не більше, ніж з двома іншими делегатами, то знайдуться три делегати Е, F, G, ні з одним з яких А не може говорити. Тоді Е, F, G утворюють шукану трійку. 

2. Кожен раз треба брати каміння з тієї купи, яка більше, так, щоб обидві купи ставали однаковими. Якщо на початку гри обидві купи містили рівну кількість каміння, то необхідно надати перший хід партнеру. 

3. Припустімо, що це можливо. Накладемо другий восьмикутник так, щоб одиниці співпадали. Хай при цьому проти числа і на верхньому восьмикутнику на нижньому знаходиться цифра а1 (а1 = 1, 2 ..., 8). Для того, щоб поєднати цифри а1 верхнього і нижнього восьмикутника, можна повернути верхній восьмикутник проти годинникової стрілки на кут b1 Ч 45°, де 

b1 = і - а1, якщо і > а1, 

і - а1 + 8, якщо і Ј а1 

Доведіть, що b1 приймає всі значення 1, 2, ..., 8. Складаючи b1, отримаємо b1 + b2 + ... + b8 = (1 + 2 + ... + 8) - (а1 + а2 + ... + а8) + 8К, 

де К - яке-небудь ціле число. Але а1 + а2 + ... + а8 = b1 + b2 + ... + b8 = 1 + 2 + ... + 8 = 36 

А 36 не ділиться на 8, то приходимо до протиріччя. 

4. Будемо вважати, що рік складається з 52 тижнів. За цей час учень розв'язав не більше 624 задач. Позначимо через а1 кількість задач, розв'язаних за перший день, через а2 - кількість задач, розв'язаних за два дні; а3 - кількість задач, розв'язаних за три дні і т. д. Кожне з чисел а1, а2, а3, ... а364. Не більше, ніж 52 Ч 12 = 624. Всі ці числа різні. Розглянемо також 364 таких числа: а1 + 20, а2 + 20, а3 + 20, ..., а364 + 20. 

Серед цих чисел немає ні однієї пари однакових, кожне з них менше 644. 

Значить, серед 728 цілих позитивних чисел, кожне з яких менше 644, знайдеться більше, ніж одна пара рівних. Хай ак = а1 + 20, тоді ак - а1 = 20. А це значить, що за час між "к-тим" та "і-тим" днями учень розв'язав рівно 200 задач. До речі, впродовж року буде 84 таких проміжків часу, коли учень розв'язував по 20 задач. 

У цій задачі достатньо обмежитися часом значно меншим, ніж рік. Аналогічно можна показати, наприклад, що впродовж 77 днів також знайдеться декілька послідовних днів, коли учень розв'язував рівно 20 задач. 

5. Якщо б кожного дня два учні святкували свій день народження, то в школі було б 732 учня. 

6. Поділимо монети на 3 групи: 21, 21 і 19. На терези покладемо перші 2 групи по 21 монеті, а третю групу з 19 монет відкладемо. При цьому можливі два випадки: чаші терезів урівноважені і неврівноважені. Розглянемо кожен з цих випадків. 

1) Чаші врівноважені, отже, тяжча (фальшива) монета знаходиться серед 19 відкладених. Розділимо ці 19 монет на 3 групи (7, 7 і 5) і порівняємо на терезах вагу перших двох груп (це буде друге зважування). Знову може вийти, що: 

а) терези врівноважені; б) терези неврівноважені. 

У випадку а) фальшива монета серед 5 відкладених. З них під час наступних двох зважувань спочатку порівняємо 2 і 2 монети, відкладаючи п'яту. Якщо п'ята не фальшива, тоді зважимо дві монети з тієї чаші терезів, що перетягнула. 

Якщо терези неврівноважені (випадок б), тоді фальшива монета знаходиться серед 7 монет. Розділимо цю групу на 3, 3 і 1 монету і покладемо на терези по 3 монети і т. д. І в цьому випадку для розв'язання необхідно 2 зважування - не більше. 

2) Чаші з монетами (на кожній по 21) неврівноважені. Відкладаємо 7 монет. Це буде друге зважування. Отож, і в цьому випадку потрібно чотири зважування. 

У цьому випадку, коли з умови не випливає вага предмета (легший він або тяжчий за інші), для його виявлення потрібно, як правило, зробити додаткове зважування. Так, у задачі про виявлення серед 9 монет однієї фальшивої (невідомо, легша вона або тяжча в порівнянні з теперішньою) двома зважуваннями не обійтись. Доведеться "переважувати " монети тричі. 

Інколи в таких задачах дещо змінюють, наприклад, введенням виокремленого числа гир певної ваги. 

7. Так могло статись. Хай двоє зіграли між собою по 10 партій. При цьому перший виграв у другого 3 партії і другий виграв у нього стільки ж. У третього перший переміг у 4-х партіях, але програв йому 5 партій. Всі інші партії закінчились нічиєю. Тоді перший, який переміг у 7 партіях, програв 8 і 5 закінчив нічиєю, буде мати 9,5 очків, другий, котрий програв 3 партії і переміг у 3-х партіях, а в 14 партіях зіграв унічию, буде мати 16 очків. Третій набере 11,5 очків, тобто у нього 5 перемог, 4 поразки і 11 нічиїх. 

8. Можливі 6 варіантів розташування оцінок: АВС, АСВ, ВСА, СВА. Кожен запис означає, що "5" отримав перший учень, "4" - другий, "3" - третій. З цих записів лише перший підходить до умови задачі: в твердженнях вчителя одна оцінка правильна, а дві інші - ні. Тому Сергієнко отримав "3", Василенко - "4", Олексієв - "5". 

9. Позначимо монети А, В, С, D, Е. Покладемо монети А і В на одну чашу терезів, а монету С з гирею - на другу. Якщо терези врівноважені, тоді фальшива монета серед відкладених D і Е. Наступним зважуванням знайдемо фальшиву і покладемо на терези гирю і монету D (за рівноваги терезів - Е, за нерівноваги - D). В одному з цих випадків не можна встановити, легша чи тяжча фальшива монета, але цього і не вимагає умова задачі. 

Коли терези врівноважені, то потрібно розглянути 2 випадки. Якщо переважує чаша з монетами А і В, тоді фальшива монета серед трьох: А, В (тоді вона важча) або С (тоді С легша). Відкладені монети D і Е - справжні. 

Для другого зважування покладемо на чашу терезів монети А і С, а на другу - 2 справжніх (або одну справжню і гирю, що одне й те саме), а монету В відкладемо. Якщо монети врівноважаться, то монета В - фальшива (тяжча за справжню). Якщо терези не врівноважаться і переважать чаші з монетами А і С, тоді фальшива А (тяжча), коли ж ця чаша легша, тоді і фальшива монета С легша. 

10. Хай один із розбійників розділить здобич на 3, на його думку, рівні частини. Якщо при цьому інші розбійники виберуть собі по одній з частин, то третя частина залишиться для розбійника, який ділив цю здобич. Якщо двоє захочуть узяти одну й ту саму частину, то вони поділять на 2 частини між собою способом, який описаний в умові задачі. Якщо 2 розбійника, які отримали половину своєї частини здобичі, показують на різні частини, то кожен із них поділить ці частини з розбійником, який здійснював перший розподіл. 

11. При будь-якому розламуванні плитки кількість квадратиків збільшується на 1. Щоб отримати 35 квадратиків, потрібно розламати плитку 34 рази. 

12. Слон, який стоїть на внутрішній клітині дошки, тримає під загрозою більшу кількість клітин, аніж слон, який стоїть на клітині будь-якого крайнього ряду (горизонтального або вертикального). Потрібно розташувати слонів так, щоб вони загрожували найменшій кількості клітин, а значить, їх потрібно поставити на клітини одного з крайніх рядків. Ці 8 слонів не будуть загрожувати шести клітинам протилежного крайнього ряду (в цьому рядку під загрозою поставлених восьми слонів знаходяться тільки дві крайні клітини) - на ці шість клітин і поставимо ще по слону на кожну. Отже, 8 + 6 = 14 слонів - це найбільша кількість слонів, яку можна розташувати на шаховій дошці так, щоб жоден із двох слонів не був під подвійною загрозою. 

13. Припустімо, на чаші терезів по одній монеті, а третю відкладемо в сторону. Якщо чаші знаходяться в рівновазі, то відкладена монета і є фальшивою. В другому випадку терези покажуть монету, яка легша, тобто фальшиву. 

14. Цей учень думав так: "Хай я в сірій шапці, тоді мій сусід ліворуч буде бачити мене в сірій, а третього учня в чорній шапці. Тоді як сірих шапок лише дві, то один з моїх товаришів повинен зразу здогадатися, що він у чорній шапці. Але він мовчить, а тому я не можу бути в сірій шапці. Тому на мені чорна шапка".

 Цікава математикаЦікава математика

"Про знаки арифметичних дій, рівності та нерівності."

З‘явилися вони, ці знаки, у такому вигляді, як ми їх знаємо, з поширенням у Європі арабського написання чисел. Звичайно, не всі зразу.

Першими народилися знаки додавання "+" і віднімання "-". Їх наприкінці XV століття застосував лейпцігський професор Ян Відман у творі "Швидка і красива лічба для всього купецтва".

Але ж люди вміли віднімати і додавати раніше! Як же позначали ці дії на письмі? У різних народів по-різному. Єгиптяни, наприклад, коли хотіли додати два числа, схематично малювали дві людські ноги, що "рухалися" вперед, а при відніманні ступні цих ніг скеровували в зворотному напрямку. У стародавніх греків додавання позначали вертикальною рискою, а віднімання - значком, схожим на кому. У Європі дію додавання ще позначали літерою "р" або "Р" (початкова літера латинського слова "плюс" - більше), а віднімання "m" або "М" (від латинського "мінус" - менше). Однак ці позначення не прижилися.

Знак множення "X" - навскісний хрест - знаходимо у праці англійського математика Уїльяма Оутреда "Математичний ключ" (1631-й рік). Згодом, у 1698 році, видатний німецький математик Готфрід-Вільгельм Лейбніц дію множення запропонував передавати крапкою (), а трохи раніше, у 1684 році, впровадив дві крапки () для позначення ділення. Щоправда, ці знаки дістали загальне визнання і набули поширення лише у XVIII столітті завдяки підручникам німецького математика Крістіана Вольфа.

Знак рівності "" ввів англійський учений Роберт Рекорд ще в XVI столітті. На його думку, ніщо не може передати рівність так, як два однакових паралельних відрізки. До нього в математиці користувалися іншими знаками рівності. Так, старогрецький математик Діофант відношення рівності позначав літерою "і" (початкова у слові "ізос" - рівний). Індійські і арабські математики, а також більшість європейських найчастіше, аж до XVII століття, вживали для цього повністю або скорочено слово "рівний".

Знаки "  " і "  " для позначення відношень нерівності систематично почав застосовувати англійський математик Томас Гаррієт. Його книжка, де він вживає ці знаки, побачила світ у 1631 році.

Дужки круглі знаходимо у математичних творах першої половини XV століття. До їхньої появи ставили риски над виразом, якого вони стосувалися, або ж під ним, що було дуже незручно під час друкування.

Знак ділення й дробу - горизонтальна риска - вперше зустрічається у італійського математика Леонардо Пізанського, який, мабуть, запозичив його з арабських рукописів. Для зручності в друкуванні англієць Август де Морган замінив горизонтальну риску навскісною.

Алфавіт сучасної математичної мови складається:

з грецьких, латинських та німецьких готичних букв; літер кирилиці;

з арабських та римських цифр;

з граматичних знаків;

з математичних знаків;

з деяких інших знаків.

Ось такі цікаві історії про наші математичні знаки. А зараз ми ще спробуємо трішки поміркувати.

Я читаю вам завдання, а ви старайтесь чимшвидше дати на нього відповідь.

1) До двоцифрового числа приписали зліва цифру 2. Як змінилося число? (Збільшилося на 200).

2) Сказати найменше трицифрове число, у якого всі цифри різні. (102)

3) Назвіть всі трицифрові числа, після зменшення яких у два рази утворюється знову трицифрове число, але з однаковими цифрами. (222, 444, 666, 888)

А тепер задачі на кмітливість:

1. Син мого батька, а не брат мені. Хто це? (Я сам)

2. Скільки у сім’ї дітей, якщо у кожного брата сестер і братів порівну, а в кожної сестри братів удвічі більше, ніж сестер? (7 дітей: 4 брати, 3 сестри).

3. Складіть з паличок або сірників таку фігуру і заберіть 4 палички так, щоб залишилось 3 квадрати.

"Перший годинник".

Ми звикли до годинника. Навіть не віриться, що колись люди не знали його. А такий час був. Наші далекі предки розпізнавали тільки ніч, ранок, день і вечір. Потім час вимірювали за довжиною тіні. Подовжилась тінь людини на три ступні - незабаром вечір. Ти маєш прийти в гості "у чотири ступні" - чекай, бо ще рано. Проте цей спосіб був незручний: ступні ж у людей неоднакові, до того ж взимку тінь довшає швидше, ніж улітку. Треба було шукати іншого способу. І його, нарешті, було знайдено. На рівному, відкритому для сонця майданчику вкопали палицю, обвели колом і стали уважно спостерігати за рухом її тіні. Це був перший сонячний годинник. З часом його удосконалили.

Годиннику було дано назву гномон (від грецького "стовпчик"). У стародавньому Вавілоні на вершині найбільшої піраміди поставили глиняний стовп. Рівний майданчик під ним розкреслили на однакові сегменти. Коли тінь від сонця наближалася до однієї з ліній, жрець проголошував: "Волею бога минула ще одна голина від сходу сонця!"

За переказами, перший механічний годинник з’явився 996 року в давньому німецькому місті Магдебурзі. До нашого часу зберігся годинник на башті Вестмінстерського абатства в Лондоні. Ще у XIII столітті він показував час жителям цього міста.

На початку XVI століття нюрнберзький винахідник Петер Генлейн змайстрував кишенькового годинника, який називали "нюрнберзьке яйце". Через півстоліття годинник отримав хвилинну стрілку, а ще через двісті років - секундну.

Російські вмільці майстрували механізми не гірше від зарубіжних колег. Талановитий винахідник і механік Іван Петрович Кулібін, який жив у кінці XVIII століття, створив справжнє чудо техніки: його годинник показував і відбивав цілі години, половини і чверті.

Золоті руки були у Кулібіна, але, як і багатьом російським винахідникам, йому випала нелегка доля. Зараз його творіння виставлене в Ермітажі.

Опівночі, в кожну оселю Росії, долинає бій Кремлівських курантів. Шість століть вони ведуть рахунок часу.

Ось яка історія виникнення годинника. А зараз цікаві завдання.

1. Котра зараз година, якщо частина доби, яка залишилася, у 2 рази менша від тієї, що минула? (16-та година)

2. Стінний годинник відбиває цілі години і ще одним ударом кожні півгодини. Скільки ударів на добу робить цей годинник?

3. Сергійко думав, що прийшов на зустріч на 15 хв раніше від її початку, але його годинник відставав на 10 хв, а початок зустрічі затримався на 20 хв. Скільки часу чекав Сергійко початку зустрічі?

А зараз ми пограємо у дуже цікаву математичну гру. Називається вона "Ой" або "Не зіб’юсь".

Правила гри: зараз ми всі станемо в коло і будемо називати всі числа по порядку так, як стоїмо. Але є одна умова. Ми не повинні називати числа 2 і числа, куди входить цифра 2, а замість нього кажемо "Ой". Хто зіб’ється, той виходить з гри.

"Коротка мандрівка в історію чисел і цифр"

Кількасот років тому з цифрами мало справу небагато людей: вчені, збирачі податків, купці тощо. Нині ж цифри постійно нагадують нам про себе. Відрізки часу, температура повітря, номер будинку і квартири, номер школи тощо - все позначається цифрами.

Цифри - це символи чисел, знаки, за допомогою яких числа передають на письмі. Перше народилися числа, а вже потім - цифри. Спочатку люди навчилися лічити, "винайшли" число, а тоді знайшли спосіб записувати результати лічби.

Як же виникла лічба? З давніх-давен люди дошукувалися відповіді на це запитання. І в різних народів відповідь була однакова. Стародавні греки, наприклад, вважали, що людей навчив лічити Прометей. Той самий, що за легендою викрав у богів вогонь і віддав його людям. Взагалі більшість народів появу числа пов’язувала з "діяннями" богів або ж міфічних героїв. Щоправда, інколи цю заслугу приписували людям, які насправді жили колись. Автори староруських рукописів, наприклад, вважали, що лічбу винайшов Піфагор - старогрецький математик, який жив у VI столітті до нашої ери. Піфагор був великим математиком, але ж люди вміли лічити задовго до VI століття! І не просто вміли лічити, але й мали вчених, які писали математичні книги. Найдавніша математична книга дійшла до нас з другого тисячоліття до нашої ери. І цілком можливо, що книжки, написані ще раніше, до нас просто не дійшли…

Доведено, що був час, коли люди обходились без чисел. Наприклад, мешканці австралійських джунглів, бажаючи обмінятися продуктами, чинили так. Люди одного племені клали на землю в’язки їстівного коріння, а другого - навпроти кожної такої в’язки ставили кошик з рибою. Встановивши відповідність рівночисельних множин, провадили обмін.

Можна назвати винахідника, який сконструював ту чи іншу машину, можна назвати вченого, який відкрив той чи інший закон природи, але ніхто не може назвати того, хто поклав початок лічбі. Уміння лічити прийшло до людей з життєвим досвідом. Саме життя спонукало людину до цього.

Не можна назвати імені й того, хто навчив людей записувати результати лічби. Але ми можемо напевне сказати, що сталося це тоді, коли люди вже вміли писати.

Спочатку кількість передавали за допомогою малюнка. Приміром, щоб показати число 1, малювали 1 палець, 2 - два пальці, 10 - з’єднані руки, 100 - згорнуту вимірну мотузку, 1000 - квітку лотоса. Взагалі квітка лотоса була символом великого числа. Цей спосіб запису чисел застосовували в стародавніх країнах - Єгипті і Китаї. Греки ще в V столітті до нашої ери назвали такі знаки ієрогліфами - "священним різьбленням".

З розвитком писемності, зокрема буквеного письма, числа почали записувати словами. Спочатку записували повністю, потім скорочено, використовуючи лише першу літеру числівника. Стародавні математики прийшли до висновку: це не дуже зручно, і от у V столітті до нашої ери зароджується нова, алфавітна система нумерації: першими дев’ятьма літерами позначали одиниці (від 1 до 9), наступні дев’ять літер використовувалися для позначення десятків (від 10 до 90), а ті, що йшли за ними, дев’ять літер - для позначення сотень (від 100 до 900).

Проте у щойно згаданих систем нумерації - ієрогліфічній та алфавітній - був один досить суттєвий недолік: ієрогліфічні знаки й літери не мали чітко визначеного місця - позиції. Такий запис дуже ускладнював обчислення. Щоправда, ще у стародавньому Вавілоні, де користувалися своєрідним письмом - клинописом і де числа позначали тими ж значками-клинцями, вже намагалися закріпити за одиницями, десятками, сотнями певне місце. До цього вавілонян змушувала обмежена можливість їхнього письма. Клинці є клинці, багато їх не вигадаєш! От і додумалися закріпити за певними розрядами чисел певне місце. Значно пізніше, з другого століття нової ери, цю спробу самостійно почали розвивати в Греції, а незабаром позиційний запис чисел удосконалюють в Індії. Саме індійська система лягла в основу нашої нинішньої системи числення.

Систему числення, основану на позначенні всіх натуральних чисел десятьма знаками - цифрами, вперше описав і застосував у IX столітті талановитий син узбецького народу Магомет син Муси із Хорезму в рукописі "Арифметика індорум".

У Європі нова система нумерації стала відома на початку XIII століття завдяки італійському вченому Леонардо Пізанському, який описав її в 1202 році у своїй праці "Книга обчислень". Але утвердилася ця система в Західній Європі значно пізніше - у XV-XVI століттях.

На Русі про арабсько-індійську систему знали ще в XIII столітті. Так, на одному знайденому дзвоні, виготовленому у ті часи, знаходимо цю нову нумерацію. На початку XVII століття цими цифрами вже нумерують сторінки російських книг, їх карбують на золотих монетах. А в середині століття ними користуються в рукописних працях. В 1703 році в "Арифметиці" Леонтія Магницького, тій самій, з якої черпав свої перші знання з математики великий російський учений Михайло Ломоносов, усе арифметичне вчення викладене на основі позиційної системи числення, і тільки сторінки підручника позначені слов'янською нумерацією.

Наша мандрівка продовжиться на наступному занятті. А зараз розгадаємо декілька веселих віршованих загадок:

Три білки і сім зайчаток

Мов зграйка хлоп’ят і дівчаток.

Всі стали в кружок,

Пустилися у танок.

Підбігли ще до них

Шість мишок лісових.

Які ж прудкі звірята!

Лічімо їх, хлоп’ята.

Встала вранці мишка-мати

Дітям зерна роздавати.

6 дітей, і всім вона

Роздала по три зерна,

І собі взяла одно.

Скільки вас, питаю я,

Зернят з’їла вся сім’я?

Скільки трикутників на кожному малюнку?

Старовинна задача.

Один чоловік вип’є діжку води на 30 л за 10 днів, а разом із дружиною вип’є таку саму діжку води за 6 днів. За скільки днів таку діжку води вип’є дружина?

"Найдавніші цифри"

Сьогодні ми продовжимо нашу тему про стародавні цифри.

Про цифри досі ми тільки згадували. Мабуть, настав час познайомитися з ними ближче. Але передусім - як виникло саме слово "цифра"?

Походить воно від арабського слова "сифр", що в перекладі означає "порожнє, місце". Річ у тім, що індійці не мали чим позначати відсутність розрядного числа і там, де нині стоїть нуль, ставили крапку, яку називали "сифр". Коли ж з'явився нуль, його також стали називати цифрою. Так було до XVIII століття - поки він дістав своє наймення від латинського слова "нулюс", що означає "ніякий". А цифрами стали називати символи чисел взагалі.

Найдавніші цифри, які ми досі знаємо, - це числові символи вавілонян і єгиптян. Вавілоняни мали клинописні знаки для чисел 1, 10, 100 (або лише 1 і 10), решту ж натуральних чисел записували шляхом поєднання цих знаків між собою.

Єгиптяни мали значно різноманітніший набір знаків-ієрогліфів для позначення чисел.

У давньому єгипетському рукописі, що зберігається в Британському музеї в Лондоні, зустрічаються навіть дробові числа. Характерно, що єгиптяни визнавали такий дріб, у якого чисельник був одиницею, а знаменник - яким завгодно числом, та ще допускали дріб 2/3.

Якщо задача зводилася до відповіді у вигляді дробового числа, то його подавали як суму одиничних дробів.

Наприклад, 7/8 єгиптянин уявляв собі як 1/2+1/4+1/8 і записував без знаків додавання: 1/2 1/4 1/8.

Припустимо, треба 7 хлібин розділити на 8 рівних частин. Ми сказали б, що це буде 7/8 хлібини. Але ж тоді числа 7/8 не було і люди знали лише, що від ділення 7 на 8 одержують 1/2+1/4+1/8. Тому єгиптяни дійшли думки, що для поділу семи хлібин на вісім рівних частин треба мати 8 половинок, 8 чверток і 8 осьмушок. Вони розрізали 4 хлібини навпіл, 2 хлібини - на чвертки і 1 хлібину - на осьмушки. Отже, для такого поділу треба було зробити 17 (4+6+7) розрізів.

А як єгиптяни лічили? Є підстави гадати, що вони користувалися лічильною дошкою із накресленими на ній смугами. На кожній смузі розкладали камінці - їх було не більше дев'яти. Щоразу, коли доводилося класти десятий камінець, з цієї смуги скидали всі камінці і на сусідню, праву, смугу клали один камінець. Таким чином, єгиптяни лічили, як ми. Можна гадати, що їхня лічильна дошка була прообразом нашої рахівниці.

1) - А зараз розгадаємо декілька ребусів:

Па ‘ 3 ж

Ли 100 к

Кі 100 чка

Цікава віршована задача:

2) Ось перед вами два гравці,

У кожного в них у руці

По два червоних камінці.

А скільки всього камінців

В обох оцих гравців?

3) Намалювали Гриць та Гнат

Багато в зошиті троянд.

Ось 5 троянд, ось ще 15,Розфарбували з них 12.

Роботу треба ще кінчати.

Троянд ще скільки фарбувати?

5) Старовинна задача:

Летіла зграя гусей, а назустріч їм гусак. "Здрастуйте, сто гусей", - говорить гусак. А йому у відповідь: "Ні, нас не сто. Якби нас було ще стільки, та ще півстільки, та ще чверть, та ти з нами, тоді було б сто". Скільки гусей було у зграї?

"Від ліктя до метра. Тлумачний словничок деяких мір"

В різних народів за різних часів існували свої міри довжини й ваги. У стародавніх арабів, наприклад, найменшою мірою довжини був поперечник макового зерняти. Сім макових зернят складали більшу одиницю вимірювання, що дорівнювала поперечнику гірчичного зерна. Міряли араби і ячмінними зернами, і фалангами великого пальця.

Римляни за одиницю міри площі - югер - брали площу, яку могла зорати за день пара волів. А в Сибіру була міра довжини бука. Це віддаль, на якій людина перестає розрізняти роги бичка.

На початку XII століття англійський король Генріх І видав грамоту про міри довжини. На вулицях Лондона оповісники по кілька разів голосно читали це королівське веління. В ньому говорилося, що віднині зразком міри служитиме рука його величності короля.

Такий наказ нікого не здивував, бо в ті часи населення країни вимірювало товари власними руками й ногами-ліктями й футами.

Лікоть - міра довжини, що дорівнювала віддалі від ліктя до кінця середнього пальця правої руки, - прийшов у Європу зі Сходу разом з арабами в раннє середньовіччя. Фут (в перекладі з англійської - "ступня") - це європейська міра довжини, яка дорівнює довжині людської ступні. Але ж руки і ступні в людей неоднакові. От і наказав король, щоб не було ніякого ошуканства, взяти мірою довжини його, королівську руку - від кінчика пальця до ліктя.

... У 1789 році було розв'язано дуже важливе для міжнародних торгових зв'язків питання. Французькі вчені вирішили, що за одиницю довжини найкраще взяти одну сорокамільйонну частину Паризького меридіана. Цій мірі дали грецьку назву - "метр". Від метра походить дециметр (1/10 його частина), сантиметр (1/100 частина) і міліметр (1/1000 частина).

У дореволюційній Росії була надзвичайно строката система мір. Та, власне, ніякої такої системи й не було. Поряд із старими слов’янськими мірами користувалися деякими англійськими, що прийшли ще за часів Петра І. Тут безборонно співіснували верста, сажень, аршин, вершок, фут, дюйм, географічна і морська милі. Масу визначали в пудах, фунтах, лотах, золотниках, долях, а місткість - бочками, відрами, штофами, пляшками, сотками.

І лише 14 вересня 1918 року Рада Народних Комісарів прийняла постанову про введення в нашій країні метричної системи мір.

Декрет, підписаний Леніним, зобов'язував повністю перейти на нові міри до 1 січня 1922 року.

Тлумачний словничок деяких мір.

Аршин - від персидського "арш" (лікоть), старовинна міра довжини. На Русь аршин прийшов 500 років тому разом з купцями з далеких східних країн.

Дюйм - від голландського "дюїм" (великий палець), міра довжини. Дорівнює 2,54 см.

Лінія - дуже маленька одиниця довжини, всього 2,54 міліметра. У Росії лініями вимірювали два види предметів: нижній діаметр стекол для гасових ламп І калібр гвинтівки або кулемета.

Метр - від грецького "метрон" (палиця для вимірювання). Це основна одиниця довжини, рівна одній сорокамільйонній частині Паризького меридіана.

Миля - від латинського "міліа" (тисяча). Колись милею називали відстань у тисячу подвійних кроків.

Сажень - від слова "саджати" (малося на увазі саджати молоді деревця). Означає відстань між великими пальцями витягнутих у сторони рук.

Фут - міра довжини, у перекладі з англійської означає "ступня".

Ярд - англійська одиниця довжини; 1 ярд дорівнює З футам.

Грам - від грецького "крамме" (дрібна міра маси). Кожна мідна монета важить стільки грамів, який ЇЇ номінал (позначення вартості на монетах): 5 копійок - 5 грамів, 3 копійки - 3 грами і т.д.

Золотник - російська одиниця маси. Нею вимірювалася маса золотих виробів.

Кілограм - головна одиниця маси; народився він наприкінці XVIII ст. у Франції.

Пуд - стародавня міра маси, дорівнює 16 кг.

Фунт - міра маси. Походить від латинського слова "пондус" (вага, гиря), становить 450 г.

Доба - це час, протягом якого Земля обертається навколо своєї осі; 1 доба = 24 год.

Календар - від латинського "календаріум", боргова книжка. За календарем можна полічити великі проміжки часу - місяці, роки, століття, можна одержати відповіді на запитання: "Яке сьогодні число?" і "Скільки минуло років?"

Місяць - одна з мір часу (від двадцяти восьми днів до тридцяти одного).

Рік - це час, за який Земля обертається навколо Сонця; за рік змінюють один одного чотири пори року; 1 рік =12 місяцям = 365 або 366 добам.

Тиждень - це сім днів, які йдуть один за одним. Кожен з днів має свою назву: неділя - коли "не роблять ніякого діла", тобто відпочивають, понеділок - одразу після неділі, вівторок - Другий (вторий) день, (Середа - середина, четвер - четвертий, п'ятниця - п'ятий, субота, по-єврейськи - шабаш, тобто день, коли не працюють.

Хвилина - проміжок часу; з 60 хвилин складається година.

Вузол - одиниця швидкості морських суден; вузол - це морська миля за годину або 1,85 кілометра за годину.

Гектар - від "гектон" (сто) і "ар" (площа, поверхня); 1 га = 100 арів = 10 000 м².

Градус - у перекладі з латинської означає "крок", "ступінь". Градусами вимірюють різні величини - кути і дуги, температуру.

Бал - з французької, означає "м'яч", "куля". Ним оцінюють знання і поведінку, силу землетрусу і густину льоду, майстерність спортсмена і хмарність неба, силу вітру, якість землі тощо.

Математика - у перекладі з грецької означає "знання", "наука". Розтлумачує кількісні та просторові поняття.

Ось такі цікаві відомості на сьогодні.